Derive n and p from E(x)=np=2 and D(x)=np(1-p)=1, then calculate using binomial distribution formula.

要解答這個(gè)問題，我們首先需要利用已知的信息計(jì)算出二項(xiàng)分布的參數(shù) \( n \) 和 \( p \)。

已知 \( X \) 服從二項(xiàng)分布 \( X \sim B(n, p) \)，并且給出了期望 \( E(X) = 2 \) 和方差 \( D(X) = 1 \)。

對(duì)于二項(xiàng)分布 \( B(n, p) \)，期望和方差分別為：
\[ E(X) = np \]
\[ D(X) = np(1 - p) \]

根據(jù)題目中的信息，我們有：
\[ np = 2 \]
\[ np(1 - p) = 1 \]

現(xiàn)在我們可以用這兩個(gè)方程來求解 \( n \) 和 \( p \)。

首先從第一個(gè)方程可以得到：
\[ p = \frac{2}{n} \]

將這個(gè)結(jié)果代入第二個(gè)方程：
\[ n \cdot \frac{2}{n} \cdot \left(1 - \frac{2}{n}\right) = 1 \]
\[ 2 \left(1 - \frac{2}{n}\right) = 1 \]
\[ 2 - \frac{4}{n} = 1 \]
\[ 2 - 1 = \frac{4}{n} \]
\[ 1 = \frac{4}{n} \]
\[ n = 4 \]

然后代入 \( n = 4 \) 回到第一個(gè)方程求 \( p \)：
\[ p = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

所以我們得到了 \( n = 4 \) 和 \( p = \frac{1}{2} \)。

現(xiàn)在我們需要計(jì)算 \( P(X = 3) \)：
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \]

代入 \( n = 4 \), \( p = \frac{1}{2} \), \( k = 3 \)：
\[ P(X = 3) = \binom{4}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{4 - 3} \]
\[ = \binom{4}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^1 \]
\[ = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \]
\[ = 4 \cdot \frac{1}{16} \]
\[ = \frac{4}{16} \]
\[ = \frac{1}{4} \]

因此，正確答案是 A: \( \frac{1}{4} \)。